La réalité du CQU4 junior en 2026

Une discussion en ligne avec Simon Lambert et Pierre Yves Dubé de la fédération le 7 avril ainsi qu'une réunion le 15 avril 2026 avec les coachs juniors m'a permis de mieux comprendre les enjeux. Je liste ici ce que j'ai entendu dans ces réunions qui décrivent le contexte actuel:

• la saison du CQU4 junior est faite de plusieurs tournois (ou phases)

• la saison 2026 comportait quatre phases suivies d'un championnat:

  • Envolée (Montréal),
  • DiscAmber (Rivières-du-Loup),
  • Coupe de glace (Sherbrooke),
  • 2-Rives (Québec)
  • Championnat provincial (Ste-Hyacinthe)

• chaque phase a lieu sur une seule journée
• chaque équipe joue au plus quatre mais plus souvent trois matchs par phase
• sauf le Championnat final qui est fait sur deux jours et où les équipes peuvent jouer plus de matchs
• il n'y a pas le même nombre d'équipes à chaque tournoi
• en particulier, il peut y avoir un nombre impair d'équipes
• les équipes ne font pas tous les tournois
• en 2026, on comptait 13 équipes M15, 13 équipes M17, 14 équipes M19
• en 2026, dans chaque catégorie d'âge, il y a entre 6 et 8 équipes stables qui font la saison complète, l'autre moitié des équipes participent aux phases quand ça adonne

Parmi les objectifs, on a:

• On veut des matchs significatifs, c'est-à-dire des matchs le plus possible entre des équipes du même niveau.
• On veut un format qui permet aux équipes de réaliser leur potentiel. Autrement dit, on veut permettre à une équipe débutante qui travaille fort pendant deux ans de rejoindre le niveau qui lui correspond sans exclure le top niveau.

Quatre solutions envisagées

L'idée d'isoler les meilleures 8 équipes du reste a été proposée, mais je vois en cette solution plusieurs risques:

• À court terme, cela sera positif pour les meilleures qui s'amélioreront, mais, à moyen et long terme, elles atteindront un niveau inférieur à leur potentiel, car ne seront pas défiées par les équipes qui s'améliorent en dessous.
• Les équipes mises de côtés (9 à 12) ne bénéficieront plus des matchs contre les équipes du top 8 pendant la saison et leur développement/motivation sera ralenti de beaucoup.
• En conséquence, la croissance du circuit sera ralentie, car les équipes 9 à 16 n'y trouveront moins de plaisir et cela suscitera moins d'engouement. Et cela peut devenir un cercle viscieux, car les meilleurs seront tellement meilleures et les autres pas de niveau.

Solution #4: Le système suisse

Après le 7 avril, j'ai proposé de considérer le système Suisse utilisé au tournoi d'ultimate annuel WindMill à Amsterdam. Très utilisé dans les tournoi d'échec, il permet d'avoir des matchs entre des joueurs (équipes) de même niveau sans avoir un préclassement adéquat. Mais il est vrai que c'est un système qui peut être compliqué à comprendre, gérer et expliquer.

Une cinquième solution: un arbre binaire de pools de 4 équipes

Dans la suite, j'aimerais proposer un autre système qui pourrait être utilisé pour le CQU4 junior. C'est un système qui est utilisé en France pour les compétitions de badminton et depuis récemment en ultimate. Il s'agit de répartir les équipes dans un arbre binaire de pools de 4 équipes. Par exemple, si on a 28 équipes, on les réparti en 7 pools A, B, C, D, E, F chacun contenant 4 équipes comme ci-bas.

Ou de façon synthétique (en informatique, on représente souvent les arbres la tête en bas et la racine en haut):

      A

    /   \

  B      C

 / \    / \

D   E  F   G

Chaque noeud de l'arbre a un parent et deux enfants gauche et droit, sauf la racine de l'arbre (pool A) qui n'a pas de parent et les feuilles de l'arbre (les pools D, E, F, G) qui n'ont pas d'enfants.

Pendant la saison, le circuit se déroule de la façon suivante:

• La première phase commence avec un préclassement des équipes, potentiellement ajustée par des êtres humains pour avoir le meilleur préclassement possible.

• À chaque phase, on réparti les équipes dans les pools comme ceci:

  • les équipes 1,2,3 et 4 dans le pool A;
  • les équipes 5,8,9 et 12 dans le pool B;
  • les équipes 6,7,10 et 11 dans le pool C;
  • et ainsi de suite dans les pools D, E, F, G

• À chaque phase, on fait un tournoi à la ronde entre les 4 équipes de chaque pool. Cela fait donc 3 matchs par équipe et cela donne un sens à chaque phase d'une journée.

• À la fin d'une phase,

  • l'équipe qui termine en première place monte dans le pool parent,
  • l'équipe qui termine en deuxième place reste dans le pool,
  • l'équipe qui termine en troisième place descend dans le pool enfant gauche et l'équipe qui termine en 4e place descend dans le pool enfant droit,

• Si l'horaire permet un 4e match dans la journée, il peut y avoir des matchs de croisement pour confirmer les montées et les descentes entre les pools.

• Les matchs de croisement peuvent inclure des matchs en B2 et C2 (l'équipe gagnante remportant le meilleur classement) et entre A1 et A2 (la finale du tournoi).

• Le résultat d'une phase est un ordre total (classement final) des équipes. Si on fait les matchs de croisement, l'équipe qui gagne reçoit le meilleur des deux classements associés aux deux équipes.

• On répète le processus à chaque phase. À la prochaine phase, le classement final est utilisé comme préclassement, et ainsi de suite. Les équipes absentes donnent leurs place aux équipes en dessous. Les nouvelles équipes sont ajoutées en bas. Si une équipe forte ne joue pas la 2e phase, libre à vous de décider si elle doit recommencer en bas à la 3e phase ou si elle obtient un préclassement équivalent à sa force.

• Si on veut permettre à des équipes de ne pas faire toutes les phases, les préclassement suivants peuvent être faits par des êtres humains, ou on peut mettre en place un système de pointage comme le CQU4 où on gagne des points à chaque phase (la somme des 2 meilleurs résultats) et cela serait utilisé pour les préclassement à chaque phase.

• Par contre, comme j'ai expliqué ici déjà, n'utilisez pas un système de point à décroissance linéaire, il faut une décroissance concave assez à pic.

Avantages de ce système

Ce système permet

• d'avoir des matchs significatifs, car les équipes du même niveau se retrouveront dans les mêmes pools,
• de s'assurer à court, moyen et long terme d'avoir les 4 meilleures équipes dans le pool A,
• mais de ne pas les isoler complètement, permettant aux équipes classées 5 à 12 d'avoir des oppositions contre les 4 meilleures équipes pendant la saison.
• le rêve américain: atteindre le pool A depuis le plus bas niveau en quelques phases est possible (la profondeur de l'arbre est logarithmique en le nombre d'équipes).
• de régionaliser les pools quand le circuit grandit, par exemple B, D, E pourraient rassembler les équipes de l'Est et C,F,G pourraient rassembler autant que possible les équipes de l'Ouest, afin de minimiser les déplacements.

Système adaptable selon le nombre d'équipes

Pour la saison 2026-2027, il n'y aura pas encore 28 équipes, donc le troisième niveau sera incomplet. Par exemple, s'il y a 20 équipes, on enlève alors les pools D et G et on garde E ou E et F comme ceci

    A

  /   \

B      C

 \    /

  E  F

Dans cette situation, à chaque phase seule la dernière équipe du B descend dans le pool E, et seule la dernière équipe du C descend dans le F.

Si le nombre d'équipes n'est pas un multiple de 4

Si le nombre d'équipes n n'est pas un multiple de 4, on fait:

• si n mod 4 = 1, on fait un pool de 5 équipes qq part en bas ou tout en haut.
• si n mod 4 = 2, on fait deux pool de 5 équipes qq part
• si n mod 4 = 3, on fait un pool de 3 équipes et des pools de 4 équipes.

Dans un pool de 5 équipes, on peut faire tous les matchs (4 par équipe, 10 matchs en tout). Mais, on peut chercher une manière de faire 1 de moins un peu comme les clip pool. Mais, il y aura nécessairement une équipe qui aura joué un match de plus. Donc, ça marche pas. Si c'est le top pool, ils peuvent faire le round robin complet et ne pas faire les matchs de croisement. Les équipes 4 et 5 descendent automatiquement.

2007: la création de la fédération et du CQU4

En octobre 2007, avec PY Lavertu, Jean-Philippe Riopel, Marie-Hélène Audet et JS Mérette, nous avons mis en place le CQU4. Comme les mêmes équipes grosso moddo avec les mêmes alignements participaient aux tournois principaux (Bye Bye, Coup de Foudre, Mars Attaque, La Flotte à Rimouski), l'idée était d'avoir un classement global qui allait formaliser la saison hivernale d'ultimate au Québec et permettre de donner un exemple concret de ce à quoi une fédération pouvait être utile et associer le sigle FQU à quelque chose d'inovateur, de positif et utile.

Je rappelle qu'à ce moment-là, le sigle FQU ne voulait rien dire pour personne et peu de gens y croyait. Le budget de la première année de la FQU était de 200$ et on l'avait utilisé pour faire une bannière. L'ultimate 4 contre 4 n'existait pas à Montréal, mais cela restait un format de jeu qui rassemblait les autres villes universitaires québécoises où c'était joué.

J'avais beaucoup réfléchi à l'époque et analysé les différentes possibilités d'échelles de pointages pour le CQU4 en m'inspirant de ce qui se fait dans le sport (Classement ATP, Classement de la Formule 1, etc.). La conclusion de mon analyse était que c'est pas tant combien de points on donne à une équipe, ce qui est important est plutôt combien de points de plus on donne à une équipe par rapport à une autre.

Le système de pointage par tournoi proposé en 2007 était obtenu par la règle suivante :

Voici ce que cela donnait sur la saison 2006-2007 qui précédait:

Et c'était parti pour la première édition 2007-2008 qui s'était même terminée avec l'organisation du Championnat du Circuit d'ultimate québécois (CCQU4) qui invitait les 8 meilleurs équipes au classement à faire un tournoi final à Saint-Hyacynthe au nouveau Centre BMO en avril 2008. Tournoi qui avait été organisé avec l'aide de Francis Beaumont et des Smileys de Montréal! Après quelques années, le CCQU4 est disparu, car le calendrier devenait chargé.

En particulier, on peut observer que le choix qui avait été fait n'était pas une échelle de points à décroissance linéaire, mais plutôt à décroissance concave. Passer de à 23e à la 22e position donne un point de plus, mais passer de la 2e à la première place donnait 7 points de plus.

Les points dans le CQU4 en 2010-2011

Le système de pointage du Circuit québécois d'ultimate 4 contre 4 pour la saison 2010-2011 était divisé en deux séries:

Série A: Movember, Bye Bye, La Flotte, Coup de Foudre, Mars Attaque Série B: OctoberDisk, Fun-E-nuF, La Virée

La même échelle allant de 1 à 73 points était utilisée pour les tournois de série A et donnait des points à 31 équipes. Une échelle de 1 à 16 points était utilisée pour les tournois de série B et donnait des points à 16 équipes. Ces échelles de pointages avaient été conçues à l'automne 2007 à une époque où le plus grand tournoi acceptait 36 équipes.

Le CQU4 de 2011 à 2014

En 2011, vu l'augmentation de popularité du circuit (le nombre d'équipes participant au circuit avait doublé en trois ans passant de 60 à 120 équipes), le système de pointage a dû être actualisé.

Désormais, l'équipe gagnante d'un tournoi de série A obtenait 1000 points et 400 points pour un tournoi de série B. Cinquante équipes obtenaient des points dans un tournoi de série A (sauf pour le Mars Attaque où l'échelle sera allongée) et 24 équipes obtiendront des points pour un tournoi de série B. Le tournoi La Flotte avait sa propre classe : 800 points pour l'équipe gagnante et 32 équipes obtenaient des points. Ainsi, l'équipe gagnante du tournoi La Flotte obtenait autant de points qu'une 5e place dans un tournoi de série A ce qui correspond à la réalité des forces relatives des équipes qui se déplacaient à Rimouski. Les quatre tournois de série A étaient : Movember, Bye Bye, Coup de Foudre, Mars Attaque et les tournois de série B seraient : OctoberDisk, Fun-E-nuF, La Virée, Ottawa (nouveau) et Landaudière (nouveau).

Le CQU4 en 2014 et après: Séries 1000, 666 et 333

Puis, en 2014, un autre ajustement a eu lieu. On passait désormais à trois séries différentes: Serie 333, 666, 1000.

Puis d'autres ajustements devaient être faits par la suite, mais je n'avais pas suivi le fil vu notre déménagement en Europe. Et j'ai suivi que de loin par la suite.

Une chose ne s'est jamais produite avant 2012: aucune équipe de 2003 à 2012 n'a jamais fait un grand chelem, c'est-à-dire, gagner tous les tournois du circuit CQU4 pendant la même saison. Je ne sais pas si cela s'est produit depuis? À ce sujet, il faudrait conserver l'information des classements des tournois du CQU4 de chaque année et le rendre disponible. Les rendre accessibles permet de faire parler les statistiques. Et comme on le sait, ce type de statistiques est très importants pour les sports télévisuels. Un jour, ce sera au tour de l'ultimate de raconter son histoire, encore faudra-t-il la connaître.

Le CQU4 en 2025

Cette année, grâce à une affectation temporaire d'un an au CRM-CNRS, je participe au CQU4 pour la première fois depuis 12 ans et je constate comment le niveau de jeu a augmenté. Les équipes sont plus polyvalentes qu'avant. Tous les joueurs et joueuses des équipes ont des bonnes capacités techniques de lancers et attrapés (pas juste 2-3 joueurs/euses par équipe). Atteindre la finale d'un tournoi demande des capacités athlétiques de plus en plus élevées. Et le circuit attire les athlètes à performer et être reconnu(e)s au sein du circuit. Aussi, les stratégies ont évolué. On voit toutes les équipes braconner la zone des buts pour aider les coéquipiers pour défendre le lancer marteau, etc. C'est très agréable de constater cette évolution près de 20 ans après la création du CQU4, car finalement, c'était ça l'objectif! Et c'est bien que cela ait fonctionné. Il y a des choses qui se sont perdues par contre. Il n'y a plus de repas communs le samedi soirs, etc. Ces moments permettaient de renforcer les liens entres les équipes et créer une cohésion inter-associations et intra-provinciale.

Concernant l'échelle de points, je constate dans le Guide du circuit Élite 2025-2026 de la fédération que l'échelle de points a été remplacée par une formule à décroissance linéaire, chose que j'avais toujours absoluement voulu éviter lors de la création du CQU4 et de ses multiples évolutions décrites ci-haut.

Le guide 2025-2026 dit:

- L’équipe championne obtient toujours le nombre de points équivalant au
  nombre d’équipe dans la division élite complète ;
- Le nombre de points qu’obtiennent les équipes subséquentes est déterminé
  selon la formule suivante : (#équipe total du élite — #équipe total du
  élite/#équipe au tournoi x position + 1), arrondit à l’unité

Autrement dit, l'échelle de points est désormais à décroissance linéaire:

Par décroissance linéaire, on veut dire que de gagner une position donne le même nombre de points supplémentaires peu importe la position où on est. L'avantage de la décroissance linéaire est que c'est très simple à définir, mais à mon avis ce n'est pas du tout adapté.

Pourquoi la décroissance linéaire est à éviter à mon avis

1. S'il y a un seul tournoi dans le circuit, alors le type de décroissance n'a pas d'importance. Toutes les échelles décroissantes donneront le même classement final de la saison égal au classement du seul tournoi. Le type de décroissance devient important lorsqu'il y a deux tournois ou plus dans le circuit. C'est le type de décroissance qui dit ce qui est mieux entre finir 1er et 7e et finir 2e et 6e par exemple: une décroissance concave dira que c'est l'un, une décroissance convexe dira que c'est l'autre et une décroissance linéaire dira que c'est ni l'un ni l'autre. À mon avis, il faut choisir la décroissance qui correspond à ce qui est valorisé intrinsèquement par les athlètes eux-mêmes.
2. Le classement doit refléter au mieux la force relative des équipes. Plus le classement établi par la fédération est proche de la réalité, plus il sera respecté par la communauté et plus ça donnera du sens et du respect d'atteindre un certain niveau dans le classement. Un classement de qualité motive les athlètes à participer au circuit et obtenir la reconnaissance associée au placement dans le classement. Inversement, un classement de mauvaise qualité fait perdre sa signification et les démotive de se préparer pour être reconnu par celui-ci.
3. La décroissance linéaire (de pente -1) dit que de passer de la 2e à la première place vaut 1 point de plus et de passer de la 10e à la 9e place vaut aussi un point de plus et passer de la 25e à la 24e place vaut un point de plus, etc. Or, gagner la finale d'un tournoi prend beaucoup plus d'énergie que de gagner la 9e place même avec les mêmes équipes impliquées. Pour la 9e place, on voudra s'économiser. On ne jouera pas si on a une petite blessure, etc. Mais, pour la finale, les joueurs et joueuses vont tout donner. Il faut que l'échelle de pointage reconnaisse et récompense l'énergie déployées par les athlètes pour atteindre le sommet.
4. Pour être plus concret, imaginons par exemple que Ultiminati gagne contre Ninjax au Bye Bye. Et supposons que ces deux équipes jouent très mal au Coup de Foudre et que les deux équipes se retrouvent dans le 9 à 16. Supposons qu'ils se retrouvent en finale du 9 à 16 et que que Ninjax gagne contre Uliminati. En considérant ces deux tournois seulement, quelle équipe devrait avoir le plus de points? La décroissance linéaire dit que les deux équipes sont à égalité. Mais, en réallité, ce n'est pas vrai. L'équipe qui a gagné la finale du Bye Bye doit avoir plus de points que l'équipe qui a gagné la 9e place au Coup de Foudre. Pour que ce principe soit atteint, il faut une décroissance concave de l'échelle de point et pas linéaire ni convexe.
5. En Formule 1, dans les années 1990 de Jacques Villeneuve, des points étaient donnés aux 6 premiers à chaque course selon la règle suivante: 10 points au gagnant, 6 points au deuxième, 4 points au 3e, puis 3, 2 et 1 points aux 4e, 5e et 6e. Donc, après deux courses, si un compétiteur avait fini 1er et 3e, il recevait 10 + 4 = 14 points. A contrario, si un autre compétiteur avait fini deux fois 2e, il recevait 6 + 6 = 12 points. Donc, dans les années 1990, en Formule 1, finir 1er et 3e était considéré mieux que finir deux fois 2e. Et c'est exactement la question qu'il faut se poser ici. Si on pense que finir deux fois 2e est mieux que finir 1er et 3e, alors il faut une décroissance convexe de l'échelle de pointage. Si on pense que finir 1er et 3e est mieux que finir deux fois 2e, il faut une décroissance concave. Et si on ne veut pas décider ce qui est mieux, alors on choisit une décroissance linéaire.
6. En tennis, le classement de l'ATP utilise l'échelle suivante pour les points associés aux tournois du Grand Chelem: Gagnant 2000 points, finaliste 1300 points, semi-finalistes 720 points, quart-de-finalistes 360 points, ronde des seize 180 points, ronde des 32 donne 90 points. On observe que le nombre de points double à chaque ronde ou, autrement dit, à chaque fois qu'on divise par deux son classement final.

7. Au Poker, selon l'intelligence artificielle de Google, dans les tournois comptant entre 16 et 25 participants, les quatre meilleurs joueurs se voient généralement attribuer des prix dans les proportions suivantes : 50 %, 25 %, 15 % et 10 %. On obtient la courbe ci-bas. Autrement dit, les 5e et tous les autres reçoivent zéro points.

8. Cet exemple du Poker nous amène à un autre argument plus télévisuel et qui concernent les spectateurs et l'intérêt qu'on peut donner à regarder un match (pourquoi regarde-t-on plus les séries de la Coupe Stanley après tout?). Avant le dernier tour d'un tournoi de Poker, il reste encore beaucoup d'argent à gagner. Les joueurs ont donc tout intérêt à donner le meilleur d'eux-mêmes à la dernière ronde. Aussi, les spectateurs ont une raison de regarder, car il y a un enjeu important. Avec l'échelle ci-haut, il y a encore 25% du pot à décider avant l'élection du gagnant. Pendant ce temps, avant la finale d'un tournoi du CQU4 qui donne 48 points à l'équipe championne et 47 points à l'équipe finaliste, il reste juste un maigre point à distribuer. Sur le total de 1+2+3+4+...+48=1176 points, cela représente moins de 0.1 % du pot des points distribués pendant le tournoi. C'est presque rien. Pourquoi donc, devrait-on s'intéresser à regarder la finale? ou même la jouer?
9. Cet argument télévisuel se traduit aussi chez les joueurs et les équipes pendant un tournoi. En effet, s'il reste beaucoup plus de points à aller chercher dans le 9 à 12 que dans le 13 à 16, alors cela donne un intérêt supplémentaire à jouer les derniers matchs du dimanche. Cela peut même devenir excitant, car si on sauve les meubles et qu'on termine 5e au Mars Attaque, on peut encore espérer finir premier au classement global, etc. Cela donne du piquant à la fin du tournoi. Hélas, avec des pointages de tournois du CQU4 à décroissance linéaire, on rend la chose beaucoup plus boring avec tout qui est presque déjà décidé plus la fin approche. À mon avis, c'est une occasion perdue de rendre les choses plus excitantes. Les joueurs le demandent. Les spectateurs le demandent. Les familles, les amis des joueurs veulent entendre des histoires du week-end. Les journalistes veulent des histoires et le demandent aussi. C'est une échelle de points bien choisie qui permettra ce contexte positif de recherche de l'excellence.

Futur 2026-2027

S'il y a un intérêt, je suis prêt à m'investir pour proposer une actualisation du système de classement du CQU4 pour la saison 2026-2027. J'aurai besoin de l'aide des gens de la communauté et de la fédération, car je dois mieux comprendre le contexte, les défis actuels et l'évolution anticipée du circuit pour les cinq prochaines années.

Au plaisir d'avoir vos retours.

Interventions dans les collèges et lycées en Gironde

Ces dernières années, sous l'invitation annuelle de Johanne Brengues, professeure au Lycée Kastler, j'ai développé un atelier sur la structure des flocons de neige et pavages apériodiques. Dans l'atelier d'une durée de 60 à 120 minutes, j'utilise des pièces en bois découpées au laser à l'ENSEIRB pour faire découvrir la science des pavages apériodiques et des quasicrystaux par la manipulation.

Pour l'année 2024-2025, j'ai soumis l'atelier suivant à l'Académie de Bordeaux dans le cadre de l'activité Des universitaires dans les classes.

Titre: Structure des flocons de neige et pavages apériodiques

Résumé: On dit que les flocons de neige sont tous différents. Pourquoi alors les branches d’un même flocon sont identiques? Dans cet exposé interactif, nous étudierons ces questions du point de vue des pavages du plan par des pièces de puzzle polygonales. Ces pièces se collent les unes aux autres comme le font en trois dimensions les molécules d’eau lors de la formation d’un flocon. En particulier, nous manipulerons des dizaines de copies d’un polygone à 13 côtés découvert en mars 2023. Les copies de ce polygone ont la propriété de paver le plan sans jamais se répéter. Nous utiliserons cet exemple pour discuter des pavages apériodiques du plan et de leurs propriétés. Public : tout niveau primaire + collège + lycée

J'ai été contacté par plusieurs collèges de la région pour faire cet atelier au printemps 2025:

• Collège Cassignol Bordeaux, 28 élèves de 3e, 7 janvier 2025
• Collège Jean Rostand, Casteljaloux, 3 classes de 6e, 16 janvier 2025
• Collège Olympe de Gouges, Vélines, 17 janvier 2025
• Village de maths, Collège Laure Gatet, Périgueux, 13 mars 2025
• Lycée Kastler, Talence, 15 mai 2025
• Collège Jean Zay, Cenon, 13 juin 2025

Les professeurs me disent que les pavages sont au programme du collège ce qui facilite les liens avec le sujet de l'atelier.

L'atelier en 2024-2025

Dans mes recherches, je m'intéresse à la combinatoire et à ses interactions avec les autres sciences. Par exemple, les atomes se combinent pour former des molécules stables en suivant des règles combinatoires simples. À l'état solide, les molécules peuvent se combiner pour former des structures ordonnées comme des crystaux ou même des flocons de neige.

La structure des flocons de neige est une science passionnante étudiée par Kenneth Libbrecht, professeur de physique au California Institute of Technology. Plusieurs questions naturelles peuvent-être posées par les élèves en voyant quelques images de flocons de neige:

• Pourquoi les flocons ont tous 6 branches?
• Pourquoi les branches d'un même flocon sont pareilles?

Après l'introduction sur la combinatoire et les flocons de neige, on passe à l'atelier. On divise la classe en petits groupes de 3 à 5 élèves. On attribue un atome (c'est-à-dire, plusieurs copies d'un même polygone) à chaque groupe. On demande aux élèves de trouver les molécules que l'atome peut créer en deux dimensions. On oriente les élèves à trouver des grandes molécules qui recouvrent des disques arbitrairement grand (on demande de recouvrir une feuille format A7, puis format A6, puis format A5, puis format A4).

Comme les pavages pentagonaux sont périodiques, nous démarrons l'atelier par l'exploration des pavages par l'un des 15 types de pentagones qui pavent le plan. Chaque groupe d'élèves se voit attribuer plusieurs copies d'une sorte de pentagones. Les élèves doivent explorer la combinatoire de la forme géométrique et faire des observations. Les découvertes des élèves sont publiées au tableau pendant l'atelier comme un article scientifique. Les résultats publiés peuvent être utilisés par les autres groupes à condition de les citer!

La notion d'apériodicité se transmet mieux après avoir compris la notion de pavages périodiques. La nouveauté pour mon atelier du printemps 2025 était de faire en sorte que les élèves découvrent d'abord des pavages périodiques non triviaux avant de considérer des pavages apériodiques. Cela permet de mieux expliquer la notion d'apériodicité.

Toutefois, avec une introduction de 15 à 20 minutes, l'atelier sur les pentagones nécessite presque la totalité du temps restant (30 minutes). Dans certains cas, un des groupes peut commencer l'étude de la pièce apériodique chapeau dans les 10 minutes restantes. Dans d'autres situations, je laisse un groupe choisir la pièce chapeau dès le début de l'atelier. Quand le temps le permet, on peut prévoir l'atelier en deux périodes de 60 minutes avec le même groupe. Cela permet d'explorer les pièces pentagonales périodiques, puis les pièces apériodiques tout en laissant du temps pour répondre aux questions des élèves.

Voici des fichiers qui rassemblent les images que j'utilise dans l'atelier sur les différents thèmes présentés.

• fichier_reguliers.pdf
• fichier_pentagones.pdf
• fichier_aperiodiques.pdf

Voici quelques liens pour en savoir plus:

• Les flocons de neige et le livre de Kenneth Libbrecht sur les flocons de neige
• Pavages par pentagones
• Pavages apériodiques
• Quasi-cristaux
• Problème einstein
• David Smith, découvreur de la pièce chapeau

Pour les collèges et lycées en dehors de Bordeaux et difficilement accessible en transport en commun, je remercie l'Université de Bordeaux pour le prêt d'une voiture.