Interventions dans les collèges et lycées en Gironde

Ces dernières années, sous l'invitation annuelle de Johanne Brengues, professeure au Lycée Kastler, j'ai développé un atelier sur la structure des flocons de neige et pavages apériodiques. Dans l'atelier d'une durée de 60 à 120 minutes, j'utilise des pièces en bois découpées au laser à l'ENSEIRB pour faire découvrir la science des pavages apériodiques et des quasicrystaux par la manipulation.

Pour l'année 2024-2025, j'ai soumis l'atelier suivant à l'Académie de Bordeaux dans le cadre de l'activité Des universitaires dans les classes.

Titre: Structure des flocons de neige et pavages apériodiques

Résumé: On dit que les flocons de neige sont tous différents. Pourquoi alors les branches d’un même flocon sont identiques? Dans cet exposé interactif, nous étudierons ces questions du point de vue des pavages du plan par des pièces de puzzle polygonales. Ces pièces se collent les unes aux autres comme le font en trois dimensions les molécules d’eau lors de la formation d’un flocon. En particulier, nous manipulerons des dizaines de copies d’un polygone à 13 côtés découvert en mars 2023. Les copies de ce polygone ont la propriété de paver le plan sans jamais se répéter. Nous utiliserons cet exemple pour discuter des pavages apériodiques du plan et de leurs propriétés. Public : tout niveau primaire + collège + lycée

J'ai été contacté par plusieurs collèges de la région pour faire cet atelier au printemps 2025:

• Collège Cassignol Bordeaux, 28 élèves de 3e, 7 janvier 2025
• Collège Jean Rostand, Casteljaloux, 3 classes de 6e, 16 janvier 2025
• Collège Olympe de Gouges, Vélines, 17 janvier 2025
• Village de maths, Collège Laure Gatet, Périgueux, 13 mars 2025
• Lycée Kastler, Talence, 15 mai 2025
• Collège Jean Zay, Cenon, 13 juin 2025

Les professeurs me disent que les pavages sont au programme du collège ce qui facilite les liens avec le sujet de l'atelier.

L'atelier en 2024-2025

Dans mes recherches, je m'intéresse à la combinatoire et à ses interactions avec les autres sciences. Par exemple, les atomes se combinent pour former des molécules stables en suivant des règles combinatoires simples. À l'état solide, les molécules peuvent se combiner pour former des structures ordonnées comme des crystaux ou même des flocons de neige.

La structure des flocons de neige est une science passionnante étudiée par Kenneth Libbrecht, professeur de physique au California Institute of Technology. Plusieurs questions naturelles peuvent-être posées par les élèves en voyant quelques images de flocons de neige:

• Pourquoi les flocons ont tous 6 branches?
• Pourquoi les branches d'un même flocon sont pareilles?

Après l'introduction sur la combinatoire et les flocons de neige, on passe à l'atelier. On divise la classe en petits groupes de 3 à 5 élèves. On attribue un atome (c'est-à-dire, plusieurs copies d'un même polygone) à chaque groupe. On demande aux élèves de trouver les molécules que l'atome peut créer en deux dimensions. On oriente les élèves à trouver des grandes molécules qui recouvrent des disques arbitrairement grand (on demande de recouvrir une feuille format A7, puis format A6, puis format A5, puis format A4).

Comme les pavages pentagonaux sont périodiques, nous démarrons l'atelier par l'exploration des pavages par l'un des 15 types de pentagones qui pavent le plan. Chaque groupe d'élèves se voit attribuer plusieurs copies d'une sorte de pentagones. Les élèves doivent explorer la combinatoire de la forme géométrique et faire des observations. Les découvertes des élèves sont publiées au tableau pendant l'atelier comme un article scientifique. Les résultats publiés peuvent être utilisés par les autres groupes à condition de les citer!

La notion d'apériodicité se transmet mieux après avoir compris la notion de pavages périodiques. La nouveauté pour mon atelier du printemps 2025 était de faire en sorte que les élèves découvrent d'abord des pavages périodiques non triviaux avant de considérer des pavages apériodiques. Cela permet de mieux expliquer la notion d'apériodicité.

Toutefois, avec une introduction de 15 à 20 minutes, l'atelier sur les pentagones nécessite presque la totalité du temps restant (30 minutes). Dans certains cas, un des groupes peut commencer l'étude de la pièce apériodique chapeau dans les 10 minutes restantes. Dans d'autres situations, je laisse un groupe choisir la pièce chapeau dès le début de l'atelier. Quand le temps le permet, on peut prévoir l'atelier en deux périodes de 60 minutes avec le même groupe. Cela permet d'explorer les pièces pentagonales périodiques, puis les pièces apériodiques tout en laissant du temps pour répondre aux questions des élèves.

Voici des fichiers qui rassemblent les images que j'utilise dans l'atelier sur les différents thèmes présentés.

• fichier_reguliers.pdf
• fichier_pentagones.pdf
• fichier_aperiodiques.pdf

Voici quelques liens pour en savoir plus:

• Les flocons de neige et le livre de Kenneth Libbrecht sur les flocons de neige
• Pavages par pentagones
• Pavages apériodiques
• Quasi-cristaux
• Problème einstein
• David Smith, découvreur de la pièce chapeau

Pour les collèges et lycées en dehors de Bordeaux et difficilement accessible en transport en commun, je remercie l'Université de Bordeaux pour le prêt d'une voiture.