Sébastien Labbé

Aujourd'hui avait lieu une rencontre de l'ANR DynA3S. Suite à une présentation de Brigitte Vallée, j'ai codé quelques lignes en Sage pour étudier une fonction qu'elle a introduite. Cette fonction est reliée à la compréhension de la densité des termes sous-diagonaux dans l'exécution de l'algorithme LLL.

D'abord voici mon fichier: brigitte.sage.

Pour utiliser ce fichier, il faut d'abord l'importer dans Sage en utilisant la commande suivante. En ligne de commande, ça fonctionne bien. Dans le Sage notebook, je ne sais plus trop si la commande load permet encore de le faire (?):

sage: %runfile brigitte.sage       # not tested

On doit générer plusieurs orbites pour visualiser quelque chose, car les orbites de la fonction sont de taille 1, 2 ou 3 en général avant que la condition d'arrêt soit atteinte. Ici, on génère 10000 orbites (les points initiaux sont choisis aléatoirement et uniformément dans \([0,1]\times[-0.5, 0.5]\). On dessine les derniers points des orbites:

sage: D = plusieurs_orbit(10000)
Note: la plus longue orbite est de taille 3
sage: A = points(D[0], color='red', legend_label='derniers')
sage: B = points(D[1], color='blue', legend_label='avant derniers')
sage: C = points(D[2], color='black', legend_label='2e avant derniers')
sage: G = A + B + C
sage: G.axes_labels(("$x$", r"$\nu$"))
sage: title = r"$(x,\nu) \mapsto (\frac{x}{(x+\nu^2)^2},\frac{\nu}{(x+\nu^2)})$"
sage: G.show(title=title, xmax=2)

Un raccourci pour faire à peu près le même dessin que ci-haut:

sage: draw_plusieurs_orbites(10000).show(xmax=2)

On dessine des histogrammes surperposés de la densité de ces points une fois projetés sur l'axe des \(\nu\):

sage: histogrammes_nu(10000, nbox=10)

Le dessin semble indiquer que la densité non uniforme semble provenir simplement par les points \((x,\nu)\) tels que \(x\leq 1\).

On dessine des histogrammes superposés de la densité de ces points une fois projetés sur l'axe des \(x\) (on donne des couleurs selon la valeur de \(\nu\)):

sage: histogrammes_x(30000, nbox=5, ymax=1500, xmax=8)

Le dessin semble indiquer que la densité ne dépend pas de \(\nu\) pour \(x\geq 1\).