Devoir 1

En utilisant SymPy ou Mathematica mais un seul des deux, répondre aux questions suivantes.

Écrire vos réponses dans le fichier Devoir-1-MATRICULE-NOM.ipynb ou Devoir-1-MATRICULE-NOM.nb selon que vous utilisiez SymPy ou Mathematica téléchargeable sur la page web du cours. Inclure la démarche, les réponses aux questions et les justifications. Envoyer votre fichier avant le jeudi 24 mars à 23h59 par courriel à l’adresse slabbe@ulg.ac.be en remplaçant MATRICULE par votre numéro de matricule et NOM par votre nom.

Pour écrire du texte entre les cellules et justifier une réponse, utiliser Format > Style > Text en Mathematica, et Cell > Cell Type > Markdown en SymPy et Jupyter.

Le plagiat sera détecté et entraînera une note de zéro pour les personnes impliquées.

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Question 1
Le Théorème de Gauss--Wantzel (https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Gauss-Wantzel) dit qu’un polygone régulier à n côtés est constructible avec la règle et le compas si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts dont les seuls connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537.
Est-ce qu’un polygone régulier à 6 côtés est constructible?

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Est-ce qu’un polygone régulier à 24480 côtés est constructible?

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Est-ce qu’un polygone régulier à 88305875025920 côtés est constructible?

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Question 2
Résoudre l’équation (x^3)-3 (x^2)-5=0 et donner une valeur numérique approchée des solutions.

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Question 3
Tracer la surface de Dini (https://en.wikipedia.org/wiki/Dini’s_surface)
dont les équations paramétriques sont:
x = a cos(u) sin(v)
y = a sin(u) sin(v)
z = a (cos(v) + ln(tan(v/2))) + bu
pour a=1, b=1 sur les intervalles 0<=u<=5 π et 0.01 \<= v <=1.

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Question 4
Soit p (x)=-(x^4)+28 (x^3)-221 (x^2)+350 x+600 un polynôme. Trouver l’ensemble des valeurs de x telles que p(x) atteint un optimum local. Dire s’il s’agit d’un minimum ou un maximum.

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Calculer l’aire de la région A={(x,y):0<=y<=p(x)} bornée supérieurement par le polynôme p(x) et inférieurement par l’abscisse.

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Question 5
On considère la fonction f( x)=(x^(x/(1-x))) pour tout réel x>0. Donner le domaine de définition de f.

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Calculer les limites de la fonction f aux bornes des intervalles qui composent le domaine de f.

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Expliquez comment prolonger f par continuité aux points x=0 et x=1.

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Question 6
On considère les vecteurs
v1=(-8, 1, -10, 1, 6),
v2=(-6, -10, 2, 10, -3),
v3=(-2, 8, 10, 1, 10),
v4=(-14, -9, -8, 11, 3),
v5=(-2, -3, 5, -8, -6).
Donner une base du sous espace vectoriel engendré par v1, v2, v3, v4 et v5.

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Le vecteur w=(0, -6, -1, -8, 10) est-il dans ce sous-espace vectoriel? Si oui, l’exprimer  comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

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